Аликвотные - дроби, числитель которых равен 1, а знаменатель-любое натуральное число.
Например: 1/789, 1/3, 1/25
Египетские дроби - сумма аликвотных дробей.
Аликвотные дроби впервые появились и использовались в Древнем Египте. Необходимость в использовании дробей возникла в результате деятельности человека. Например, для разделения добычи после охоты, а также для измерения длины, площади.
Аликвотные дроби встречаются в математических записях, написанных около 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах.
Первой дробью была половина. Названия последующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три «треть», четыре «четверть»)
Впоследствии Аликвотные дроби использовались в древней Греции, Индии, а затем и учеными математиками всего мира до средних веков, применяя их для решения задач. Хотя Клавдий Птолемей заметил, что Аликвотные дроби неудобны в использовании по сравнению с Вавилонской системой. Огромный вклад в развитие аликвотных дробей принес великий итальянский математик Фибоначчи в 13 веке. Он привел алгоритмы перевода обычных дробей в аликвотные.
В наше время Аликвотные дроби применяются не только в математике.
Эти дроби используются даже в музыке, есть понятие аликвотных струн.
В физике, химии и фармацевтике имеется точно известная часть раствора-аликвотная доля или аликвота.
Аликвотные дроби составляют широкий класс нестандартных задач. Они встречаются в олимпиадах, а также в ЕГЭ.

Алгоритм Фибоначчи
Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом.
Дробь m/n разлагается на два слагаемых:
m/n = 1/[n/m] + (-n) mod m/n[n/m].
Здесь [n/m] - частное от деления n на m, округленное до целого в большую сторону, а (-n) mod m - (положительный) остаток от деления -n на m.

7/15 = 1/3 + 2/15 = 1/3 + 1/8 + 1/120.
5/121 = 1/33 + 1/121 + 1/365.

Древний Вавилон
А) Шестидесятеричная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 60.

Гипотезы о причинах возникновения шестидесятеричной системы счисления.
Однако именно в Древнем Междуречье возникла шестидесятеричная система счисления. Загадка её возникновения неоднократно привлекала и ставила в тупик великих математиков в течение последних двух тысяч лет. Создано несколько гипотез.

1. Гипотеза Теон полагает, что число 60 было выбрано вавилонянами за основание системы счисления в силу своих арифметических свойств: оно имеет наибольшее число различных делителей среди сравнительно небольших чисел.

2. Гипотеза Тюро-Данжен предположил, что в древнейшее время вавилонская нумерация имела смешанный десятично-шестеричный характер; единицей второго разряда служила десятка; единица же третьего разряда образовалась из шести единиц второго разряда, так что роль нашей "сотни" играло число 60. Тюро-Данжен считает, что причина этого в том, что число 6, делящееся на 2 и 3, оказалось более удобным по своей арифметической структуре.

3. Гипотеза О. Нейгебауэра заключается в том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел.

4. Гипотеза Веселовского связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке)
Ван дер Варден, 1959, Комментарии И. Н. Веселовского.

5. Гипотеза Кевича предпологает, что шестидесятеричная система возникла из смешения двух систем, существовавших прежде независимо: десятеричной и шестеричной. Одна из них, по мнению Кевича, должна быть система исчисления шумеров, другая - аккадян. Гипотеза мало обоснована фактами, оставляла открытым вопрос, какой из двух народов, шумерский или аккадский, имел первоначально шестиричную систему.

Из гипотез математиков становится ясно, что 60-теричная система возникла на основе ранее существовавшей другой системы счисления. Приведённые выше гипотезы не объясняют, откуда возник позиционный принцип вавилонской нумерации.

Я считаю что гипотезы: Кевича, Тюро-Данже и Теон - более вероятны, так как вероятность их истинности примерно равна.

Б) Для современных людей информация об устройстве государства, экономической политике, и истории Вавилона сохранилась благодаря уцелевшим глиняным табличкам, на которые в те времена наносили клинописные тексты. Такие таблички хранились в Вавилонских храмах, а также в царских дворцах и библиотеках.
С помощью глиняных табличек вавилонские писцы сохраняли различные мифы, легенды, сказания. В Вавилоне получала свое развитие наука, её развитию способствовало строительство храмов и дворцов, а также практика разветвленной и достаточно непростой системы землевладения, при которой возникла необходимость измерения земельных участков Очень хорошо в Вавилоне были развиты математика и астрономия.
Именно в Вавилоне, благодаря наблюдениям за звездным небом, был придуман и составлен самый первый календарь того времени, удивительно, но ошибка данного календаря по отношению к солнечному году, была в расхождении в 7 минут.


Древний Рим
А) С чем связано происхождение римских дробей?
Римская система дробей была связана с мерой веса, называемой «асс». Она делилась на 12 долей. 1/12 асса называлась унцией. Некоторые из них: семис — половина асса; секстанте — шестая доля асса; семиунция — пол-унции или 1/24 асса. Неудобство такой системы заключалось в невозможности представить число в виде дроби со знаменателем 10 или 100.

Римские математики преодолели трудность с помощью использования процентов.

Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей – унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12, 2/12, 3/12…

Сейчас «асс» - аптекарский фунт.

Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо 1/12 римляне говорили «одна унция», 5/12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.

Б) Даже сейчас используется часть Римской системы дробей. Ведь есть обычные дроби, такие как 1/12, 1/2, 1/6, 1/24.

В) В какой стране до сих пор пользуются в системе мер и денежной системе остатками римских дробей

Римские цифры – устаревшая технология. Ею овладеть было проще, чем современной позиционной записью. Каждая римская цифра обозначала одно и то же количество; I – это 1, V – это 5, X – это 10. Было относительно легко обучиться, записывать небольшие числа и сравнивать их. Если считать много не надо, то это удобно. А в нашей системе счисления смысл цифры меняется в зависимости от позиции. Например, в числе 10 цифра 1 показывает количество десятков, а не единиц. Разобраться с нашей системой записи чисел не так легко, как с римской, детей специально учат этому в школе, и дело это не быстрое. Зато наша сложная технология дала выигрыш в силе: хотя записывать числа в десятичной системе сложнее, работать с ними – складывать, делить, сравнивать – гораздо проще.
Сломать культурную традицию и перейти на новую технологию очень нелегко. Хорошую идею придумать проще, чем убедить широкие массы отказаться от неудачной старой.

И один в поле воин: история математики сохранила для нас имя человека, которого следует особенно поблагодарить за отказ от ужасных римских цифр. Это Леонардо Пизанский (Фибоначчи). Он написал «Книгу абака», где изложил и популяризировал десятичную арифметику.

Г) В Вавилоне, так как там меньше недостатков по сравнению с Римской системой. Там же в Вавилоне есть таблица умножения до 1800, есть множество знаков, обозначающих число.