Система древнерусских дробей. В источниках часто встречается деление отдельных мер и денежных единиц на более мелкие части по системе двух и трёх. Для ясного понимания этого деления следует хорошо себе представить структуру древнерусских дробей.

Половина какого-либо количества обозначается словом «пол».

Одна треть числа — словом «треть».

Одна четверть — словом «четь» или «четверть».

Одна шестая — «пол-трети».

Одна восьмая — «пол-чети» или «пол-четверти».

Одна двенадцатая — «пол-пол-трети».

Одна шестнадцатая — «пол-пол-чети».

Одна двадцать четвёртая — «пол-пол-пол-трети».

Одна тридцать вторая — «пол-пол-пол-чети» и т. д.

Так появляются понятия: пол-трети коробьи, пол-четверти зобницы, пол-деньги и т. д. Дальнейшее присоединение частицы «пол» даёт ещё более дробные части, делящиеся на два.

Не следует путать «четверть» или «четь», как единицу измерения земельной площади или меру сыпучих тел, с «четвертью» или «четью», как дробью. Если как следует уяснить себе различие между этими понятиями, то система древнерусских мер поверхности не представит трудностей для понимания. Дробное выражение пол-четверти: 1/8. Но половина четверти как земельной меры, это — осьмина (более мелкая единица измерения). Следовательно, пол-осьмины = 1/4 четверти как земельной меры, пол-пол-осьмины = 1/8 (или пол-четверти) четверти как земельной меры.

Надо иметь в виду также, что часто в древнерусских источниках дроби выражаются посредством сложения и вычитания. Например, 11/24 = треть (1/3) и пол-пол-трети (+ 1/12) и пол-пол-пол-трети (+ 1/24). Или 29/96 = треть без пол-пол-пол-четверти (1/3 — 1/32).

Наконец, следует остановиться также на обозначении целых чисел с дробями. Для обозначения какого-то числа единиц без половины единицы употребляется выражение: пол-указанного неполного количества единиц. Например: 2,1/2 = полтретьи (три без половины, 2 единицы и половина третьей единицы); 3,1/2 = полчетверты; 4,1/2 = полпяты; 5,1/2 = полшесты; 6,1/2 = полсемы; 7,1/2, = полосьмы; 8,1/3 = полдевяты; 10,1/2 = полдесяти и т. д.
Не следует путать выражения: полтретьи (2,1/2) и пол-трети (1/6); полчетверты (3,1/2) и пол-четверти (1/8).

Целое число с дробью (больше половины) древнерусские источники выражают путём вычитания. Например, 4,3/4 = 5 без четверти, 6,7/8 = 7 без пол-четверти. 9,11/12 = 10 без пол-пол-трети.

Для целых чисел с дробью (меньше половины) мы найдём такие выражения: два с третью (2,1/3), три с четвертью (З,1/4) и т. д.

Оперируя системой дробей при рассмотрении земельных площадей, надо опять-таки учитывать разницу между четвертью, как единицей измерения поверхности, и четвертью как дробью = 1/4.

Выражение — 2 четверти с осьминою и — пол-пол-третника пашни — означает 2 четверти пашни + 1/2 четверти пашни + 1/12 четверти пашни = 2,7/12 четверти пашни.
4 четверти без третника пашни = 4 — 1/3 четверти пашни = 3,2/3 четверти пашни.

Русское правительство в течение XVII в. стремилось привести все многообразие фискальных единиц к одной определенной единице обложения. Такой общей единицей была признана большая московская соха в 800 четвертей доброй земли в поле. В течение XVII в. делались попытки распространить эту боль­шую соху на все категории земель.
В первоначальной форме дощатый счет был специально приспособлен к нуждам сошной арифметики. Это система налогового обложения в России 15—17 вв., при которой, наряду со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, надо было производить те же операции и с дробями, поскольку условная единица обложения — соха, делилась на части.
Сошное письмо - описание земельных владений на селе и в городах Московского государства, кадастровая система; проводилось с целью последующего поземельного обложения, то есть сбора податей и отбывания повинностей. Землю измеряли в четвертях, десятинах и их частях, а результат переводили в сохи или её части. Но соха не имела постоянный размер, а зависела от качества земли: 1 соха = 800 четвертям хорошей, 1000 четвертям средней и 1200 четвертям плохой земли.
Соха с самого начала была не земельной мерой, а финансовой единицей, выражавшей определённых размеров капитал, с которого московское правительство брало часть процентов в виде подати.
В книге М. А. Цайгера важным и содержательным материалом является расшифровка конкретных древнерусских способов счета в системе «сошных дробей». Об этой проблеме И.Г. Спасский писал следующее: «В распоряжении древнерусской “бухгалтерии” были специальные переводные таблицы, позволявшие приводить дроби обоего рода (четвертные и третные. – Р. С.) к “общему знаменателю”; замечательно, что им служил денежный счет: оказывается, любую дробь обоих видов можно выразить в виде определенной денежной суммы, после чего трети и четверти складываются или вычитаются проще простого».
Те вспомогательные средства, которые И.Г. Спасский называет «специальными переводными таблицами», могут сводиться к своеобразным формулам. М. А. Цайгер воспроизводит одну из таких формул, которая в древнерусских сошных дробях звучит так: «Четь да полчети да пол- полтрети да пол-пол-полтрети, итого треть и полтрети сохи». В современном обозначении дробей она может быть выражена следующим равенством: 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24 = 1/3 + 1/6. Смысл равенства состоял в переводе одних сошных дробей в другие, что было нужно для рационализации вычислений при взимании налога с угодий, состоящих из участков владений различной величины и ценности (пашни, леса, луга). При этом решался и вопрос правильности расчетов, для чего существовал механизм быстрой их проверки.

Изобретения сошной арифметики в 16-18 веках.
Сошное письмо. Термин «сошное письмо» обозначает сложившуюся в конце ХV в. систему описания земельных владений, как в сельской местности, так и в городах, в целях податного обложения. Для служилого землевладения соха включала 800 четей доброй, 1000 четей средней и 1200 четей худой земли; для церковных и монастырских земель соха включала соответственно 600, 700 и 800 четей; для черных земель – 500, 600 и 700 четей. При существовавшем трехпольном севообороте общее количество земли в трех полях, составлявшее соху, утраивалось. Нетрудно заметить, что размеры сохи были обратно пропорциональны тяжести налогового обложения. Так, например, с условной площади 4000 четвертей доброй земли вотчинник платил 5 налоговых денежных единиц (4000:800 = 5), а черносошный крестьянин с той же площади одинаковой по качеству земли платил 8 денежных единиц (4000:500 = 8). Соха размером 800 четей называлась большой московской. Появлению «дощаного счета», вызванного сложными расчетами принятой во второй половине XVI в. единой налоговой поземельной единицы (большой сохи), предшествовала более простая система – счет на плодовых косточках. Об этом упоминает опричник немец Генрих Штаден: «В Русской земле счет ведут при помощи сливовых косточек». Введение «большой сохи» должно было способствовать унификации налоговой системы. Для расчета налогов было необходимо вычислить коэффициенты с учетом качества земли и сословного положения владельцев. На их основании устанавливалась условная мера — соха.