Цепные дроби
"Хотя этот род выражений до настоящего времени разработан мало, однако мы не сомневаемся, что когда-нибудь применение его весьма широко распространится в анализе бесконечных"
Леонард Эйлер
Леонард Эйлер
Античные математики умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью алгоритма Евклида. По-видимому, именно таким путём Архимед получил приближение 3≈1351/780 — это 12-я подходящая дробь для корня из 3 или одна треть от 4-й подходящей дроби для корня из27.
В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа Пи (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни
Начало современной теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь». Эквивалентный термин «цепная дробь» появился в конце XVIII века.
Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение для исходного числа.
В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.
В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа Пи (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни
Начало современной теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь». Эквивалентный термин «цепная дробь» появился в конце XVIII века.
Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение для исходного числа.
В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.
Христиан Гюйгенс
- Математика
- Научную деятельность Христиан Гюйгенс начал в 1651 году сочинением о квадратуре гиперболы, эллипса и круга. В 1654 году он разработал общую теорию эволют и эвольвент, исследовал циклоиду и цепную линию, продвинул теорию непрерывных дробей.
- В 1657 году Гюйгенс написал приложение «О расчётах в азартной игре» к книге его учителя ван Схоотена «Математические этюды». Это было первое изложение начал зарождающейся тогда теории вероятностей. Гюйгенс, наряду с Ферма и Паскалем, заложил её основы, ввёл фундаментальное понятие математического ожидания. По этой книге знакомился с теорией вероятностей Якоб Бернулли, который и завершил создание основ теории.
- Механика
- В 1657 году Гюйгенс издал описание устройства изобретённых им часов с маятником. В то время учёные не располагали таким необходимым для экспериментов прибором, как точные часы. Галилей, например, при изучении законов падения считал удары собственного пульса. Часы с колесами, приводимыми в движение гирями, были в употреблении с давнего времени, но точность их была неудовлетворительна. Маятник же со времен Галилея употребляли отдельно для точного измерения небольших промежутков времени, причём приходилось вести счёт числу качаний. Часы Гюйгенса обладали хорошей точностью, и учёный далее неоднократно, на протяжении почти 40 лет, обращался к своему изобретению, совершенствуя его и изучая свойства маятника. Гюйгенс намеревался применить маятниковые часы для решения задачи определения долготы на море, но существенного продвижения не добился.
- В 1673 году Гюйгенс опубликовал классический труд по механике «Маятниковые часы» («Horologium oscillatorium, sive de motu pendulorum an horologia aptato demonstrationes geometrica»). Скромное название не должно вводить в заблуждение. Кроме теории часов, сочинение содержало множество первоклассных открытий в области анализа и теоретической механики. Гюйгенс также проводит там квадратуру ряда поверхностей вращения. Это и другие его сочинения имели огромное влияние на молодого Ньютона.
- Гюйгенс выводит законы равноускоренного движения свободно падающих тел, основываясь на предположении, что действие, сообщаемое телу постоянной силой, не зависит от величины и направления начальной скорости. Выводя зависимость между высотой падения и квадратом времени, Гюйгенс делает замечание, что высоты падений относятся как квадраты приобретенных скоростей. Далее, рассматривая свободное движение тела, брошенного вверх, он находит, что тело поднимается на наибольшую высоту, потеряв всю сообщенную ему скорость, и приобретает её снова при возвращении обратно.
- Галилей допускал без доказательства, что при падении по различно наклонным прямым с одинаковой высоты тела приобретают равные скорости. Гюйгенс доказывает это следующим образом. Две прямые разного наклонения и равной высоты приставляются нижними концами одна к другой. Если тело, спущенное с верхнего конца одной из них, приобретает большую скорость, чем пущенное с верхнего конца другой, то можно пустить его по первой из такой точки ниже верхнего конца, чтобы приобретенная внизу скорость была достаточна для подъёма тела до верхнего конца второй прямой; но тогда бы вышло, что тело поднялось на высоту, большую той, с которой упало, а этого быть не может. От движения тела по наклонной прямой Гюйгенс переходит к движению по ломаной линии и далее к движению по какой-либо кривой, причём доказывает, что скорость, приобретаемая при падении с какой-либо высоты по кривой, равна скорости, приобретаемой при свободном падении с той же высоты по вертикальной линии, и что такая же скорость необходима для подъёма того же тела на ту же высоту как по вертикальной прямой, так и по кривой. Затем, переходя к циклоиде и рассмотрев некоторые геометрические свойства её, автор доказывает таутохронность движений тяжелой точки по циклоиде.
- "Если сложный маятник, выйдя из покоя, совершил некоторую часть своего качания, большую полуразмаха, и если связь между всеми его частицами будет уничтожена, то каждая из этих частиц поднимется на такую высоту, что общий центр тяжести их при этом будет на той высоте, на которой он был при выходе маятника из покоя."
- Это предложение, не доказанное у Гюйгенса, является у него в качестве основного начала, между тем как теперь оно представляет простое следствие закона сохранения энергии.
- Теория физического маятника дана Гюйгенсом вполне в общем виде и в применении к телам разного рода. Гюйгенс исправил ошибку Галилея и показал, что провозглашённая последним изохронность колебаний маятника имеет место лишь приближённо. Он отметил также ещё две ошибки Галилея в кинематике: равномерное движение по окружности связано с ускорением (Галилей это отрицал), а центробежная сила пропорциональна не скорости, а квадрату скорости.
- Астрономия
- Гюйгенс самостоятельно усовершенствовал телескоп; в 1655 году он открыл спутник Сатурна Титан и описал кольца Сатурна. В 1659-м он описал всю систему Сатурна в изданном им сочинении.
- В 1672 году он обнаружил ледяную шапку на Южном полюсе Марса. Он подробно описал туманность Ориона и другие туманности, наблюдал двойные звёзды, оценил (довольно точно) период вращения Марса вокруг оси.
- В этом труде Гюйгенс сделал первую попытку определить расстояние до звёзд. Если предположить, что все звёзды, включая Солнце, имеют близкую светимость, то, сравнивая их видимую яркость, можно грубо оценить отношение расстояний до них (расстояние до Солнца было тогда уже известно с достаточной точностью). Для Сириуса Гюйгенс получил расстояние в 28000 астрономических единиц, что примерно в 20 раз меньше истинного (опубликовано посмертно, в 1698 году)
- Оптика и теория волн
- Гюйгенс участвовал в современных ему спорах о природе света. В 1678 году он выпустил «Трактат о свете» (фр. Traité de la lumière) — набросок волновой теории света: ньютоновская «Оптика» с изложением альтернативной корпускулярной теории вышла в 1704 году.
- Другое замечательное сочинение он издал в 1690 году; там он изложил качественную теорию отражения, преломления и двойного лучепреломления в исландском шпате в том самом виде, как она излагается теперь в учебниках физики. Сформулировал «принцип Гюйгенса», позволяющий исследовать движение волнового фронта, впоследствии развитый Френелем и сыгравший важную роль в волновой теории света. Открыл поляризацию света (1678).
- Ему принадлежит оригинальное усовершенствование телескопа, использованного им в астрономических наблюдениях и упомянутого в параграфе об астрономии, он изобрел окуляр Гюйгенса, состоящий из двух плосковыпуклых линз (используется и в наши дни). Также он является изобретателем диаскопического проектора — т. н. «волшебного фонаря».
- Гюйгенс обосновал (теоретически) сплюснутость Земли у полюсов, а также объяснил влияния центробежной силы на направление силы тяжести и на длину секундного маятника на разных широтах. Он дал решение вопроса о соударении упругих тел, одновременно с Валлисом и Реном (опубликовано посмертно) и одно из решений вопроса о виде тяжелой однородной цепи, находящейся в равновесии (цепная линия).
- Ему принадлежит изобретение часовой спирали, заменяющей маятник, крайне важное для навигации; первые часы со спиралью были сконструированы в Париже часовым мастером Тюре в 1674 году. В 1675 году запатентовал карманные часы.
- Гюйгенс первым призвал выбрать всемирную натуральную меру длины, в качестве которой предложил 1/3 длины маятника с периодом колебаний 1 секунда (это примерно 8 см).
- Пафнутий Львович ЧебышевПафнутий Львович Чебышев (1821-1894) - русский
математик и механик, основоположник петербургской математической школы, академик Петербургской академии
наук и ещё 24 академий мира.
В работе «Об одном арифметическом вопросе» (1866)
Чебышев рассмотрел вопрос о приближении чисел рациональными числами, используя аппарат непрерывных дробей.
Этот вопрос сыграл важную роль в становлении теории диофантовых приближений целых чисел. - Андрей Андреевич МарковАндрей Андреевич Марков (1856-1922) –
русский математик, академик.
В математическом анализе Марков развил теорию моментов и теорию приближения функций, а также аналитическую теорию непрерывных дробей. Ученый широко использовал непрерывные дроби для приближенных вычислений в теории конечных разностей, интерполировании и
т. д. Актуальность всех этих вопросов особенно возросла в связи с развитием вычислительной техники. - Алексей Николаевич ХованскийАлексей Николаевич Хованский (1816-1996) -
Советский и российский математик, специалист по цепным дробям, геометрии и истории математики, эсперантист и полиглот.
В 1956 году в Москве опубликовал монографию
«Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа», переводы этой книги на китайский и английский языки опубликованы в Пекине и Гронингене
(Нидерланды)
Книга А.Н. Хованского и по сию пору является едва ли не единственной русскоязычной книгой по применениям цепных дробей в вычислениях. Немалое число цепных дробей для элементарных и специальных функций получено автором.
- Борис Николаевич ДелонеБорис Николаевич Делоне (1890-1980) -
Русский и советский математик, профессор МГУ, член-
корреспондент АН СССР, альпинист, мастер спорта
СССР.
Изучал геометрический способ построения цепной дроби числа a, связанный с нахождением целых
точек, которые лежат близко от прямой. «Алгоритм вытягивания носов». - Хлопонин Станислав СерафимовичХлопонин Станислав Серафимович
Научные работы, посвящённые изучению теории цепных дробей:
1. “Приближение функций цепными дробями”,
2. “Соответствие между отношением степенных рядов и цепными дробями”
3. “P-цепные дроби. интерполирование цепными дробями”
4. “Признаки сходимости цепных дробей, основанные на фундаментальной системе неравенств”
5. “Преобразование отношения степенных рядов в правильную c-цепную
дробь
6. “Представление N−−√ в виде однозвенно-периодических цепных
дробей”
7. “Решение одного дифференциального уравнения Риккати с помощью цепной дроби Стилтьеса”,
8. “О сходимости цепных дробей”
9. “К вопросу о сходимости цепных дробей” - Смышляев Виктор КонстантиновичСмышляев Виктор Константинович (1928 – 1985)-деятель науки, ученый-педагог, кандидат педагогических наук, профессор МГПИ им. Н.К. Крупской. «Заслуженный деятель науки Марийской АССР», «Отличник народного просвещения РСФСР».
Виктор Петрович Терских - советский учёный.
Разработал и в 1930 году опубликовал оригинальный метод «цепных дробей»,
который и сейчас широко используется в судостроении.
Сочинения:
• Метод цепных дробей в применении к исследованию колебаний
механических систем Т. 1
• Метод цепных дробей в применении к исследованию колебаний
механических систем. Т.2
- Александр Яковлевич Хинчин
Александр Яковлевич Хинчин (1894-1959)- советский математик, профессор МГУ, один из наиболее значимых учёных в советской школе теории вероятностей.
Член- корреспондент АН СССР, действительный член АПН РСФСР. Лауреат Сталинской премии второй степени за работы по теории вероятностей.
Основал метрическую теорию непрерывных дробей.
Разъясняя появление своей работы «Цепные дроби».
А.Я. Хинчин писал в 1935 г. : “Программы высшей школы (даже математических отделений университетов ) этой теории не предусматривают, вследствие чего и
соответствующие новые руководства для высшей школы, естественно, ничего не говорят о цепных дробях.
И специалист, встречающийся с необходимостью овладеть этим аппаратом, вынужден разыскивать либо дореволюционные учебники, либо зарубежные специальные руководства”
Российские математики вплоть до двадцатых годов прошлого столетия
использовали в своих работах термин “непрерывные дроби”.
И лишь стараниями А. Я. Хинчина “цепные дроби” получили права гражданства и, более того, существенно потеснили “непрерывные дроби” в сочинениях русскоязычных авторов.
- Гуго Вальтерович МаурерГуго Вальтерович Маурер (1937-2003) -
кандидат физико-математических наук, доцент.
Занимался научным исследованиям в области аналитической теории цепных дробей и ее приложению - Василий ВисковатовВасилий Висковатов (1779-1819) - русский математик. Известный специалист в области математического анализа и вариационного исчисления, теории
цепных дробей.
Ему принадлежит оригинальный метод разложения дробно-рациональных
функций в цепные дроби.
Аким Захарович Никипорец (1896 – 1972) - таганрогский математик.
В 1948г. записал предел, имеющий, казалось бы, лишь формальный характер.
Именно опираясь на предел Никипорца , была предпринята попытка обосновать новый подход к суммированию расходящихся в классическом смысле непрерывных
дробей.
- Александр Дмитриевич БрюноАлександр Дмитриевич Брюно (р. 26 июня 1940 г.)
- Советский математик, доктор физико-математических наук,
профессор; член Московского и Американского математических обществ, а также Академии нелинейных наук.Рассматривал глобальное обобщение цепной дроби, дающее наилучшие диофантовы приближения.
- Николай Германович МощевитинНиколай Германович Мощевитин (родился 23 апреля 1967) - учёный-математик, преподаватель мехмата МГУ и СУНЦ МГУ.
Доктор физико-математических наук,
профессор. Лауреат Государственной премии РФ.
Является автором и соавтором 19 учебных курсов мехмата МГУ по теории чисел. - Родион Осиевич КузьминРодион Осиевич Кузьмин (1891-1949) - Российский и советский математик, декан технического факультета
Пермского университета, доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН СССР.
Решил проблему Гаусса.
